Задача 5. Найдите значение выражения \(\frac{6^{12} \cdot 11^{10}}{66^{10}}\)

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно упростить выражение, используя свойства степеней. Вспомним, что \( 66 = 6 \cdot 11 \).

1. Представим \( 66^{10} \) как \( (6 \cdot 11)^{10} \) = \( 6^{10} \cdot 11^{10} \).
2. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{6^{12} \cdot 11^{10}}{6^{10} \cdot 11^{10}} \).
3. Разделим дробь на две части, чтобы сгруппировать одинаковые основания: \( \frac{6^{12}}{6^{10}} \cdot \frac{11^{10}}{11^{10}} \).
4. Применим свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) к основанию 6: \( 6^{12-10} = 6^2 \).
5. Для основания 11: \( \frac{11^{10}}{11^{10}} = 11^{10-10} = 11^0 = 1 \).
6. Перемножим полученные результаты: \( 6^2 \cdot 1 = 36 \cdot 1 \).
7. Вычислим произведение: \( 36 \cdot 1 = 36 \).

Ответ: 36