Задача 3. На отрезке AB отмечена точка O — его середина. Через точку O проведена прямая, пересекающая отрезок AC в точке M и отрезок BD в точке N так, что AM ∥ BD. Докажите, что треугольник AOM равен треугольнику BON.

Дано: \(AO=OB\), точки \(M,O,N\) лежат на одной прямой, \(AM\parallel BD\).

Доказательство:

1. Так как прямые \(AB\) и \(MN\) пересекаются в точке \(O\), то вертикальные углы равны: \(\angle AOM=\angle BON\).
2. Так как \(AM\parallel BD\), а лучи \(AO\) и \(BO\) лежат на одной прямой \(AB\), то соответствующие углы равны: \(\angle OAM=\angle OBN\).
3. По условию \(O\) — середина отрезка \(AB\), поэтому \(AO=OB\).

В треугольниках \(AOM\) и \(BON\) равны сторона \(AO=OB\) и два прилежащих к ним угла. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам.

Что и требовалось доказать.