Задача 10. Около окружности, радиус которой равен 16, описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Задание 10. Радиусы вписанной и описанной окружностей квадрата

Дано:

• Радиус вписанной окружности \( r = 16 \).
• Квадрат описан около этой окружности.

Найти: радиус описанной окружности \( R \) этого квадрата.

Решение:

1. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине стороны квадрата. Следовательно, сторона квадрата \( a \) равна удвоенному радиусу вписанной окружности: \[ a = 2r = 2 \times 16 = 32 \].
2. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата.
3. Диагональ квадрата \( d \) можно найти по теореме Пифагора: \[ d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \].
4. Тогда \( d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \).
5. Подставим значение стороны квадрата: \[ d = 32\sqrt{2} \].
6. Радиус описанной окружности \( R = \(\frac{d}{2}\) = \(\frac\){32\(\sqrt{2}\)}{2} = 16\(\sqrt{2}\) \].

Ответ: 16√2.