Задача 7: В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=168°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма.

Пусть AB = x, тогда AC = 2x. Так как ABCD - параллелограмм, CD = AB = x. Рассмотрим треугольник ACD. ∠ACD = 168°. Сумма углов треугольника равна 180°. Из теоремы синусов, $$\frac{CD}{\sin{\angle CAD}} = \frac{AC}{\sin{\angle ADC}}$$. $$\frac{x}{\sin{\angle CAD}} = \frac{2x}{\sin{\angle ADC}}$$.$$\sin{\angle ADC}} = 2\sin{\angle CAD}$$. $$\angle ADC = 180 - α - 168. = 12 - \alpha$$, подставляем $$\sin{12 - \alpha} = 2\sin{\alpha}$$. Получается, что \angle ACD = 168, $$\alpha$$ не может быть больше 12. Иначе значения синуса будут отрицательными. Допустим $$\angle CAD = 4$$. $$\angle ADC = 8$$. $$\sin{8} = 2*\sin{4} = 0.139$$. $$sin{8}= 0.139$$. $$\angle DAC = 4$$. Точка пересечения диагоналей K. $$\angle AKD = 180 - \angle KAD - \angle ADK = 180 - 4 - 8 = 168$$. $$\angle AKD = 168$$. Значит угол между диагоналями равен 168. Ответ: 168