Задача 4. В остроугольном треугольнике АВС с углом В равным 70° провели высоту ВН и отметили середины М и N сторон АВ и ВС соответственно. Найдите угол МНN. Ответ дайте в градусах.

В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABH\) катет \(AM\) равен половине гипотенузы \(AB\), значит, медиана \(MH\), проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы \(AB\). Значит, \(AM = MH\) и \(\triangle AMH\) - равнобедренный, \(\angle A = \angle MHA\).

Аналогично в \(\triangle CBH\): \(BN = NH\) и \(\triangle BNH\) - равнобедренный, \(\angle C = \angle NHC\).

Сумма углов в \(\triangle ABC\) равна \(180^\circ\), значит, \(\angle A + \angle C = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\).

Угол \(\angle MHN\) найдем как:

\(\angle MHN = 180^\circ - (\angle MHA + \angle NHC) = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\)

Ответ: 70