Задача 3. Для каждого многочлена укажите одночлен, который нужно прибавить к этому многочлену, чтобы полученное выражение стало квадратом некоторого двучлена с целыми коэффициентами. Многочлены: 16x²+10xy + y² 9x² + 8xy+4y² 10x²+10xy+25y2 Одночлены: -9x2 4xy -2xy

Рассмотрим каждый многочлен по отдельности и определим, какой одночлен нужно прибавить, чтобы получить квадрат двучлена с целыми коэффициентами.

1. Многочлен: $$16x^2 + 10xy + y^2$$

   Этот многочлен можно представить как: $$(4x)^2 + 10xy + y^2$$

   Чтобы это выражение стало полным квадратом, нужно, чтобы средний член был равен $$2 \cdot 4x \cdot y = 8xy$$. Сейчас у нас $$10xy$$, значит, нужно вычесть $$2xy$$. Чтобы получить $$8xy$$, нужно добавить $$ -2xy$$ к данному многочлену.

2. Многочлен: $$9x^2 + 8xy + 4y^2$$

   Этот многочлен можно представить как: $$(3x)^2 + 8xy + (2y)^2$$

   Чтобы это выражение стало полным квадратом, нужно, чтобы средний член был равен $$2 \cdot 3x \cdot 2y = 12xy$$. Сейчас у нас $$8xy$$, значит, нужно прибавить $$4xy$$ к данному многочлену.

3. Многочлен: $$10x^2 + 10xy + 25y^2$$

   Если мы прибавим -9x², то получим: $$x^2 + 10xy + 25y^2$$.

   Этот многочлен можно представить как: $$x^2 + 10xy + (5y)^2$$

   Чтобы это выражение стало полным квадратом, нужно, чтобы средний член был равен $$2 \cdot x \cdot 5y = 10xy$$, что и есть в нашем многочлене.

   Значит: $$(x + 5y)^2 = x^2 + 10xy + 25y^2$$

Таким образом, имеем следующие соответствия:

• $$16x^2 + 10xy + y^2$$: -2xy
• $$9x^2 + 8xy + 4y^2$$: 4xy
• $$10x^2 + 10xy + 25y^2$$: -9x²

Ответ:

• 16x²+10xy + y² : -2xy
• 9x² + 8xy+4y² : 4xy
• 10x²+10xy+25y² : -9x²