Задача 4. [1 балл) При каких значениях т сумма квадратов корней уравнения x²+2x+m=0 равна 24? Ответ:

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ - корни уравнения $$x^2 + 2x + m = 0$$. По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -2$$ $$x_1 \cdot x_2 = m$$

Нам дана сумма квадратов корней:

$$x_1^2 + x_2^2 = 24$$

Преобразуем это выражение:

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$$ $$24 = (-2)^2 - 2m$$ $$24 = 4 - 2m$$ $$2m = 4 - 24$$ $$2m = -20$$ $$m = -10$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 4 - 4m$$

Подставим значение m = -10:

$$D = 4 - 4(-10) = 4 + 40 = 44$$

Т.к. $$D > 0$$, то корни существуют.

Ответ: -10