y = sqrt(x^5 + 4x^3)

Чтобы найти производную функции $$y = \sqrt{x^5 + 4x^3}$$, мы используем правило дифференцирования сложной функции.

Пусть $$u = x^5 + 4x^3$$. Тогда $$y = \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}$$.

Производная $$y$$ по $$u$$: $$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$$.

Производная $$u$$ по $$x$$: $$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^5 + 4x^3) = 5x^4 + 12x^2$$.

Теперь применяем правило дифференцирования сложной функции: $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$.

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^5 + 4x^3}} \cdot (5x^4 + 12x^2) \]

Упрощаем:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{5x^4 + 12x^2}{2\sqrt{x^5 + 4x^3}} \]

Можно вынести $$x^2$$ из-под корня в знаменателе:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2(5 + 12x^{-2})}{2\sqrt{x^2(x^3 + 4x)}} = \frac{x^2(5 + 12x^{-2})}{2x\sqrt{x^3 + 4x}} = \frac{x(5 + 12x^{-2})}{2\sqrt{x^3 + 4x}} \]

Однако, обычно оставляют в более простом виде, не извлекая $$x^2$$ из-под корня, если это не упрощает выражение.

Ответ: $$\frac{5x^4 + 12x^2}{2\sqrt{x^5 + 4x^3}}$$