x-y-2z = 6 7-2x-3y+ 5z = 7 4x+2y-z=3

7. Дана система уравнений:

$$\begin{cases} x - y - 2z = 6 \\ -2x - 3y + 5z = 7 \\ 4x + 2y - z = 3 \end{cases}$$

Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & 6 \\ -2 & -3 & 5 & 7 \\ 4 & 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$

Выполним преобразования: R2 = R2 + 2R1, R3 = R3 - 4R1:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & 6 \\ 0 & -5 & 1 & 19 \\ 0 & 6 & 7 & -21 \end{pmatrix}$$

Умножим вторую строку на 6, третью на 5:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & 6 \\ 0 & -30 & 6 & 114 \\ 0 & 30 & 35 & -105 \end{pmatrix}$$

Выполним преобразование R3 = R3 + R2:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & 6 \\ 0 & -30 & 6 & 114 \\ 0 & 0 & 41 & 9 \end{pmatrix}$$

Из третьего уравнения имеем z = 9/41. Подставим в другие уравнения:

$$\begin{cases} x - y - 2(9/41) = 6 \\ -30y + 6(9/41) = 114 \\ z = 9/41 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x - y = 6 + 18/41 = 264/41 \\ -30y = 114 - 54/41 = 4620/41 \\ z = 9/41 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x - y = 264/41 \\ y = -154/41 \\ z = 9/41 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = 264/41 - 154/41 = 110/41 \\ y = -154/41 \\ z = 9/41 \end{cases}$$

Ответ: x = 110/41, y = -154/41, z = 9/41