[x-y+z=4 10 5x-3y-2z = 1 3x+2y-3z-1

10. Дана система уравнений:

$$\begin{cases} x - y + z = 4 \\ 5x - 3y - 2z = 1 \\ 3x + 2y - 3z = -1 \end{cases}$$

Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 4 \\ 5 & -3 & -2 & 1 \\ 3 & 2 & -3 & -1 \end{pmatrix}$$

Выполним преобразования: R2 = R2 - 5R1, R3 = R3 - 3R1:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & -7 & -19 \\ 0 & 5 & -6 & -13 \end{pmatrix}$$

Умножим вторую строку на 5, третью на 2:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 4 \\ 0 & 10 & -35 & -95 \\ 0 & 10 & -12 & -26 \end{pmatrix}$$

Выполним преобразование R3 = R3 - R2:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 4 \\ 0 & 10 & -35 & -95 \\ 0 & 0 & 23 & 69 \end{pmatrix}$$

Разделим третью строку на 23:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 4 \\ 0 & 10 & -35 & -95 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

Из третьего уравнения имеем z = 3. Подставим в другие уравнения:

$$\begin{cases} x - y + 3 = 4 \\ 10y - 35(3) = -95 \\ z = 3 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x - y = 1 \\ 10y = 110 - 95 = 10 \\ z = 3 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x - 1 = 1 \\ y = 1 \\ z = 3 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \\ z = 3 \end{cases}$$

Ответ: x = 2, y = 1, z = 3