9x-0,5 – 8 · 3x-1 + 5 = 0

Для решения данного уравнения сделаем замену $$t = 3^{x-1}$$.

Тогда $$9^{x-0.5} = (3^2)^{x-0.5} = 3^{2x-1} = 3^{2(x-1) + 1} = 3 \cdot (3^{x-1})^2 = 3t^2$$.

Уравнение примет вид: $$3t^2 - 8t + 5 = 0$$.

Найдем дискриминант:

$$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$$.

$$t_1 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$.

$$t_2 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$.

Вернемся к замене:

1) $$3^{x-1} = \frac{5}{3}$$.

$$x - 1 = log_3(\frac{5}{3})$$.

$$x_1 = log_3(\frac{5}{3}) + 1 = log_3(\frac{5}{3}) + log_3(3) = log_3(\frac{5}{3} \cdot 3) = log_3(5)$$.

2) $$3^{x-1} = 1$$.

$$x - 1 = 0$$.

$$x_2 = 1$$.

Ответ: 1; $$log_3(5)$$