18. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке M. Найдите углы треугольника, если угол ВМС равен 140°.

Пошаговое решение:

• В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании AB и AC равны: ∠ABC = ∠ACB.
• Высоты, проведенные к боковым сторонам, пересекаются в точке M.
• Угол BMC равен 140°.
• Рассмотрим четырехугольник AMHD, где H и D - основания высот, опущенных из вершин B и C соответственно. В этом четырехугольнике углы AHD и ADM прямые (90°), так как AH и AD - высоты.
• Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Значит, ∠BAC + ∠HMD = 180°.
• Угол HMD является вертикальным к углу BMC, следовательно, ∠HMD = ∠BMC = 140°.
• ∠BAC = 180° - ∠HMD = 180° - 140° = 40°.
• Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны: ∠ABC = ∠ACB.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°: ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°.
• 40° + ∠ABC + ∠ACB = 180° => 2 * ∠ABC = 140° => ∠ABC = 70°.
• Тогда и ∠ACB = 70°.

Ответ: ∠BAC = 40°, ∠ABC = 70°, ∠ACB = 70°.