1. Высота цилиндра 19 см. На расстоянии 9 см от оси цилиндра проведено сечение, параллельное оси цилиндра, площадь которого равна 456 см². Найдите радиус цилиндра. Рис.1.

Пусть (h) - высота цилиндра, (r) - радиус основания, (d) - расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения, а (S) - площадь сечения.

Тогда (h = 19) см, (d = 9) см, (S = 456) см². Сечение представляет собой прямоугольник со сторонами (h) и (2x), где (x) - половина длины хорды, отстоящей на расстоянии (d) от центра основания. Площадь сечения равна (S = 2xh).

Из этого следует, что $$2xh = 456$$

$$2 cdot x cdot 19 = 456$$

$$x = \frac{456}{2 cdot 19} = \frac{456}{38} = 12$$

Таким образом, (x = 12) см.

Теперь, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом (r), расстоянием (d) и половиной хорды (x), найдем радиус основания цилиндра:

$$r^2 = x^2 + d^2$$

$$r^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$$

$$r = \sqrt{225} = 15$$

Ответ: 15 см