Решение

I вариант: $$y = -x^2 + 6x - 8$$

1. Область определения функции (ООФ): Так как функция является квадратичной, то область определения – все действительные числа. $$x \in (-\infty; +\infty)$$
2. Область значений функции (ОЗФ): Определим вершину параболы: $$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3$$ $$y_в = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 8 = -9 + 18 - 8 = 1$$ Так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, ОЗФ: $$y \in (-\infty; 1]$$
3. Нули функции: Решим уравнение $$-x^2 + 6x - 8 = 0$$. Умножим на -1: $$x^2 - 6x + 8 = 0$$ Дискриминант: $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$$ Корни: $$x_1 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2$$ Таким образом, нули функции: $$x_1 = 4, x_2 = 2$$
4. Промежуток возрастания функции: Функция возрастает на промежутке от $$-\infty$$ до вершины параболы, т.е. до $$x = 3$$. Таким образом, промежуток возрастания: $$x \in (-\infty; 3]$$

II вариант: $$y = -x^2 - 6x - 7$$

1. Область определения функции (ООФ): Так как функция является квадратичной, то область определения – все действительные числа. $$x \in (-\infty; +\infty)$$
2. Область значений функции (ОЗФ): Определим вершину параболы: $$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{-2} = -3$$ $$y_в = -(-3)^2 - 6 \cdot (-3) - 7 = -9 + 18 - 7 = 2$$ Так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, ОЗФ: $$y \in (-\infty; 2]$$
3. Нули функции: Решим уравнение $$-x^2 - 6x - 7 = 0$$. Умножим на -1: $$x^2 + 6x + 7 = 0$$ Дискриминант: $$D = (6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$$ Корни: $$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{8}}{2} = \frac{-6 + 2\sqrt{2}}{2} = -3 + \sqrt{2}$$ $$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{8}}{2} = \frac{-6 - 2\sqrt{2}}{2} = -3 - \sqrt{2}$$ Таким образом, нули функции: $$x_1 = -3 + \sqrt{2}, x_2 = -3 - \sqrt{2}$$
4. Промежуток убывания функции: Функция убывает на промежутке от вершины параболы, т.е. от $$x = -3$$ до $$+\infty$$. Таким образом, промежуток убывания: $$x \in [-3; +\infty)$$

Ответ: Смотри решение выше.