4. Вычислите

a) $$\frac{27^3 \cdot 3^4}{3^{10}}$$

Представим 27 как 3³:

$$\frac{(3^3)^3 \cdot 3^4}{3^{10}} = \frac{3^9 \cdot 3^4}{3^{10}} = \frac{3^{9+4}}{3^{10}} = \frac{3^{13}}{3^{10}} = 3^{13-10} = 3^3 = 27$$

Ответ: 27

б) $$\frac{5^5 \cdot 6^5}{30^3}$$

Представим 6 как 2 × 3, а 30 как 5 × 6:

$$\frac{5^5 \cdot (2 \cdot 3)^5}{(5 \cdot 6)^3} = \frac{5^5 \cdot 2^5 \cdot 3^5}{5^3 \cdot 6^3} = \frac{5^5 \cdot 2^5 \cdot 3^5}{5^3 \cdot (2 \cdot 3)^3} = \frac{5^5 \cdot 2^5 \cdot 3^5}{5^3 \cdot 2^3 \cdot 3^3} = 5^{5-3} \cdot 2^{5-3} \cdot 3^{5-3} = 5^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 = 25 \cdot 4 \cdot 9 = 100 \cdot 9 = 900$$

Ответ: 900

5. Решите уравнение:

a) $$5x^2 = 45$$

Разделим обе части уравнения на 5:

$$x^2 = \frac{45}{5}$$ $$x^2 = 9$$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$$x = \pm \sqrt{9}$$ $$x = \pm 3$$

Ответ: x = 3, x = -3

б) $$\frac{(2x)^6 \cdot (2x)^3 \cdot 2}{(4x)^3 \cdot 8x^5} = -5$$

Упростим выражение:

$$\frac{(2^6 \cdot x^6) \cdot (2^3 \cdot x^3) \cdot 2}{(4^3 \cdot x^3) \cdot 8x^5} = -5$$ $$\frac{2^6 \cdot 2^3 \cdot 2 \cdot x^6 \cdot x^3}{4^3 \cdot 8 \cdot x^3 \cdot x^5} = -5$$ $$\frac{2^{6+3+1} \cdot x^{6+3}}{(2^2)^3 \cdot 2^3 \cdot x^{3+5}} = -5$$ $$\frac{2^{10} \cdot x^9}{2^6 \cdot 2^3 \cdot x^8} = -5$$ $$\frac{2^{10} \cdot x^9}{2^9 \cdot x^8} = -5$$ $$2^{10-9} \cdot x^{9-8} = -5$$ $$2^1 \cdot x^1 = -5$$ $$2x = -5$$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$x = \frac{-5}{2}$$ $$x = -2.5$$

Ответ: x = -2.5