Решение заданий контрольной работы.

1. Вычислите:
2. а) $$\frac{6^4}{(6^{-3/5} \cdot 6^{1/5})^5} = \frac{6^4}{(6^{-2/5})^5} = \frac{6^4}{6^{-2}} = 6^4 \cdot 6^2 = 6^6 = 46656$$

   Ответ: 46656

3. б) $$\left(\sqrt[3]{2\sqrt{16}}\right)^2 = \left(\sqrt[3]{2\cdot 4}\right)^2 = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$$

   Ответ: 4

4. Упростить выражение:
5. $$a^{4+\sqrt{5}}\cdot \left(\frac{1}{a^{\sqrt{5}-1}}\right)^{\sqrt{5}+1} = a^{4+\sqrt{5}}\cdot \frac{1}{a^{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}} = a^{4+\sqrt{5}}\cdot \frac{1}{a^{5-1}} = a^{4+\sqrt{5}}\cdot \frac{1}{a^4} = a^{4+\sqrt{5}-4} = a^{\sqrt{5}}$$

   Ответ: $$a^{\sqrt{5}}$$

6. Известно, что $$1,2^x = 3$$. Найдите $$1,2^{3x+1}$$.
7. $$1,2^{3x+1} = 1,2^{3x} \cdot 1,2^1 = (1,2^x)^3 \cdot 1,2 = 3^3 \cdot 1,2 = 27 \cdot 1,2 = 32,4$$

   Ответ: 32,4

8. Решите уравнение: $$6^{2x} = \sqrt[3]{36}$$.
9. $$6^{2x} = \sqrt[3]{36} = \sqrt[3]{6^2} = 6^{\frac{2}{3}}$$ $$2x = \frac{2}{3}$$ $$x = \frac{1}{3}$$

   Ответ: $$x = \frac{1}{3}$$

10. Записать в виде обыкновенной дроби число $$0,2(7)$$.
11. $$x = 0,2(7) = 0,2777...$$ $$10x = 2,777...$$ $$100x = 27,777...$$ $$100x - 10x = 27,777... - 2,777...$$ $$90x = 25$$ $$x = \frac{25}{90} = \frac{5}{18}$$

    Ответ: $$\frac{5}{18}$$

12. Сократите дробь:
13. $$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}$$

    Дробь не сокращается

    Ответ: дробь не сокращается

14. Упростить выражение:
15. $$\left(\frac{1}{a^2+2} - \frac{a^2-2}{a-1}\right)\cdot \frac{a^2+1}{a^2} = \left(\frac{a-1 - (a^2-2)(a^2+2)}{(a^2+2)(a-1)}\right)\cdot \frac{a^2+1}{a^2} = \frac{a-1 - (a^4 - 4)}{(a^2+2)(a-1)} \cdot \frac{a^2+1}{a^2} = \frac{a-1 - a^4 + 4}{(a^2+2)(a-1)} \cdot \frac{a^2+1}{a^2} =$$ $$\frac{-a^4 + a + 3}{(a^2+2)(a-1)} \cdot \frac{a^2+1}{a^2}$$

    Выражение упростить нельзя

    Ответ: выражение упростить нельзя