5(4) Вычислите скалярное произведение векторов $$\vec{m}$$ и $$\vec{n}$$, если $$\vec{m} = 2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$$; $$\vec{n} = \vec{a} - 2\vec{b}$$; $$|\vec{a}| = 3$$, $$|\vec{b}| = 2$$, $$\vec{a} \perp \vec{c}$$, $$\vec{b} \perp \vec{c}$$, $$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$$.

1. Вычислим скалярное произведение $$\vec{m} \cdot \vec{n}$$: $$\vec{m} \cdot \vec{n} = (2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = 2\vec{a} \cdot \vec{a} - 4\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + 2\vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{a} - 2\vec{c} \cdot \vec{b} = 2|\vec{a}|^2 - 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2|\vec{b}|^2$$ Так как $$\vec{a} \perp \vec{c}$$ и $$\vec{b} \perp \vec{c}$$, то $$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$$ и $$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$$. 2. Вычислим $$\vec{a} \cdot \vec{b}$$: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\angle(\vec{a}, \vec{b})} = 3 \cdot 2 \cdot \cos{60^\circ} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$$ 3. Подставим известные значения в выражение для $$\vec{m} \cdot \vec{n}$$: $$\vec{m} \cdot \vec{n} = 2|\vec{a}|^2 - 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2|\vec{b}|^2 = 2(3^2) - 5(3) + 2(2^2) = 2(9) - 15 + 2(4) = 18 - 15 + 8 = 11$$ Ответ: Скалярное произведение векторов $$\vec{m}$$ и $$\vec{n}$$ равно 11.