6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = ex, y = 1/x, x = 2, x = 3

Решение задания №6

На заданном промежутке \[x \in [2; 3]\] функция \[y = e^x\] находится выше функции \[y = \frac{1}{x}\]. Тогда площадь фигуры можно вычислить как интеграл: \[S = \int_2^3 (e^x - \frac{1}{x}) dx\] Вычисляем интеграл: \[S = \int_2^3 e^x dx - \int_2^3 \frac{1}{x} dx\] \[S = [e^x]_2^3 - [\ln|x|]_2^3\] \[S = (e^3 - e^2) - (\ln(3) - \ln(2))\] Используем свойства логарифмов, чтобы упростить выражение: \[S = e^3 - e^2 - \ln(\frac{3}{2})\] Приближенно: \[e^3 \approx 20.0855\] \[e^2 \approx 7.3891\] \[\ln(\frac{3}{2}) \approx 0.4055\] Подставляем значения: \[S \approx 20.0855 - 7.3891 - 0.4055 \approx 12.2909\]

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями, равна \(e^3 - e^2 - \ln(\frac{3}{2}) \approx 12.2909\)

Проверка за 10 секунд: Интеграл найден, пределы интегрирования подставлены, площадь вычислена.

Запомни: Площадь между кривыми всегда положительна. Если интеграл получается отрицательным, возьми его модуль.