Вычислите: \( \log_3 5 + \log_3 \frac{1}{45} \)

Решение:

Воспользуемся свойством логарифмов: \( \log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y) \).

\[ \log_3 5 + \log_3 \frac{1}{45} = \log_3 \left( 5 \cdot \frac{1}{45} \right) \]

Упростим выражение внутри логарифма:

\[ 5 \cdot \frac{1}{45} = \frac{5}{45} = \frac{1}{9} \]

Теперь вычислим логарифм:

\[ \log_3 \frac{1}{9} \]

Это значит, нам нужно найти такую степень \( x \), в которую нужно возвести 3, чтобы получить \( \frac{1}{9} \).

\[ 3^x = \frac{1}{9} \]

Так как \( 9 = 3^2 \), то \( \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} \).

Значит, \( 3^x = 3^{-2} \), откуда \( x = -2 \).

Ответ: -2