Вычислите: \( \frac{3^{-9} \cdot 9^{-4}}{27^{-6}} \).

Разбираемся:

Чтобы вычислить это выражение, нужно привести все числа к одному основанию. Логика такая:

• Числа 9 и 27 можно представить как степени тройки: \( 9 = 3^{2} \) и \( 27 = 3^{3} \).
• Применяем свойство возведения степени в степень: \( (a^{m})^{n} = a^{m \cdot n} \).
• Применяем свойство умножения степеней: \( a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n} \).
• Применяем свойство деления степеней: \( \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \).

Пошаговое решение:

1. Заменим числа 9 и 27 степенями тройки:
   \( 9^{-4} = (3^{2})^{-4} = 3^{2 \cdot (-4)} = 3^{-8} \)
   \( 27^{-6} = (3^{3})^{-6} = 3^{3 \cdot (-6)} = 3^{-18} \)
2. Подставим полученные значения в исходное выражение:
   \( \frac{3^{-9} \cdot 3^{-8}}{3^{-18}} \)
3. Умножим степени в числителе (сложим показатели):
   \( 3^{-9} \cdot 3^{-8} = 3^{-9 + (-8)} = 3^{-17} \)
4. Теперь разделим полученную степень в числителе на степень в знаменателе (вычтем показатели):
   \( \frac{3^{-17}}{3^{-18}} = 3^{-17 - (-18)} = 3^{-17 + 18} = 3^{1} \)
5. Результат:
   \( 3^{1} = 3 \)

Ответ: 3