3. Преобразуйте выражение: ( \( \frac{1}{3} x^{-1} y^{2} \) )^{-2} ; б) \( \left( \frac{3x^{-1}}{4y^{-3}} \right)^{-1} \cdot 6xy^{2} \).

Разбираемся:

Тут нам понадобятся свойства степеней, особенно для работы с отрицательными показателями и возведением дроби в степень.

• Отрицательный показатель степени означает, что нужно взять обратную дробь: a^-n = \( \frac{1}{a^{n}} \) или \( \frac{1}{a^{-n}} = a^{n} \).
• Возведение дроби в степень: \( (\frac{a}{b})^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}} \).
• Возведение произведения в степень: \( (a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n} \).
• Деление степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \).

Пошаговое решение:

1. \( \left( \frac{1}{3} x^{-1} y^{2} \right)^{-2} \)
   Сначала возведем в степень -2 каждый множитель внутри скобок:
   \( (\frac{1}{3})^{-2} = 3^{2} = 9 \)
   \( (x^{-1})^{-2} = x^{(-1) \cdot (-2)} = x^{2} \)
   \( (y^{2})^{-2} = y^{2 \cdot (-2)} = y^{-4} \)
   Теперь объединяем: \( 9x^{2}y^{-4} \).
   Можно также записать как \( \frac{9x^{2}}{y^{4}} \).
2. \( \left( \frac{3x^{-1}}{4y^{-3}} \right)^{-1} \cdot 6xy^{2} \)
   Для начала разберемся с первой частью: \( \left( \frac{3x^{-1}}{4y^{-3}} \right)^{-1} \). Когда мы возводим дробь в степень -1, мы просто переворачиваем дробь:
   \( \frac{4y^{-3}}{3x^{-1}} \).
   Теперь вспомним, что \( y^{-3} = \frac{1}{y^{3}} \) и \( x^{-1} = \frac{1}{x} \). Подставим это:
   \( \frac{4 \cdot \frac{1}{y^{3}}}{3 \cdot \frac{1}{x}} = \frac{\frac{4}{y^{3}}}{\frac{3}{x}} \).
   Чтобы разделить дроби, умножим первую на обратную второй: \( \frac{4}{y^{3}} \cdot \frac{x}{3} = \frac{4x}{3y^{3}} \).
   Теперь умножим результат на \( 6xy^{2} \):
   \( \frac{4x}{3y^{3}} \cdot 6xy^{2} = \frac{4x \cdot 6xy^{2}}{3y^{3}} = \frac{24x^{2}y^{2}}{3y^{3}} \).
   Сократим дробь:
   \( \frac{24}{3} = 8 \), \( \frac{x^{2}}{1} = x^{2} \), \( \frac{y^{2}}{y^{3}} = y^{2-3} = y^{-1} = \frac{1}{y} \).
   Получаем: \( 8x^{2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{8x^{2}}{y} \).

Ответ: а) \( 9x^{2}y^{-4} \) или \( \frac{9x^{2}}{y^{4}} \); б) \( \frac{8x^{2}}{y} \)