Вычислить определенный интеграл: \(\int_{0}^{3} (2x^3 - 7x + 3)dx\)

Решение:

Для вычисления определенного интеграла \(\int_{0}^{3} (2x^3 - 7x + 3)dx\) найдем первообразную для подынтегральной функции \( f(x) = 2x^3 - 7x + 3 \).

1. Первообразная для \(2x^3\) равна \(\frac{2x^{3+1}}{3+1} = \frac{2x^4}{4} = \frac{x^4}{2}\).
2. Первообразная для \(-7x\) равна \(\frac{-7x^{1+1}}{1+1} = \frac{-7x^2}{2}\).
3. Первообразная для \(3\) равна \(3x\).
4. Таким образом, первообразная \(F(x)\) равна \(\frac{x^4}{2} - \frac{7x^2}{2} + 3x\).
5. Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \(\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)\).
6. \(F(3) = \frac{3^4}{2} - \frac{7 \cdot 3^2}{2} + 3 \cdot 3 = \frac{81}{2} - \frac{7 \cdot 9}{2} + 9 = \frac{81}{2} - \frac{63}{2} + \frac{18}{2} = \frac{81 - 63 + 18}{2} = \frac{36}{2} = 18\).
7. \(F(0) = \frac{0^4}{2} - \frac{7 \cdot 0^2}{2} + 3 \cdot 0 = 0\).
8. \(\int_{0}^{3} (2x^3 - 7x + 3)dx = F(3) - F(0) = 18 - 0 = 18\).

Ответ: 18.