4. Вычислить интеграл: 1) ∫₁(³(x²+3/x)dx; 2) ∫₀^(π/2) sin 2x dx.

Ответ: 1) 7.3; 2) 1

Решение:

1) Вычислим интеграл ∫₁³ (x² + 3/x) dx:

∫₁³ (x² + 3/x) dx = ∫₁³ x² dx + 3∫₁³ (1/x) dx = [x³/3]₁³ + 3[ln|x|]₁³ = (3³/3 - 1³/3) + 3(ln(3) - ln(1)) = (27/3 - 1/3) + 3(ln(3) - 0) = (26/3) + 3ln(3) ≈ 8.67 + 3.30 = 11.97

Проверим:

∫₁³ x² dx = x³/3 |₁³ = (3³)/3 - (1³)/3 = 27/3 - 1/3 = 26/3 ≈ 8.67

∫₁³ 3/x dx = 3 ln|x| |₁³ = 3(ln 3 - ln 1) = 3(ln 3 - 0) = 3 ln 3 ≈ 3.30

2) Вычислим интеграл ∫₀^(π/2) sin 2x dx:

∫₀^(π/2) sin 2x dx = [-1/2 cos 2x]₀^(π/2) = -1/2 (cos(2⋅π/2) - cos(2⋅0)) = -1/2 (cos π - cos 0) = -1/2 (-1 - 1) = -1/2 (-2) = 1

Интеграл ∫₀^(π/2) sin 2x dx равен 1.

Ответ: 1) 11.97; 2) 1