Вычислить: √2 ⋅ ³√2 ⋅ ⁶√2

Решение:

Для вычисления выражения приведём корни к общему показателю степени.

1. Общий показатель степени для корней со степенями 2, 3, 6 — это 6.
2. Перепишем корни с показателем 6:
• \( \sqrt{2} = 2^{1/2} = 2^{3/6} = \sqrt[6]{2^3} \)
• \( \sqrt[3]{2} = 2^{1/3} = 2^{2/6} = \sqrt[6]{2^2} \)
• \( \sqrt[6]{2} \)
3. Теперь перемножим корни с одинаковым показателем:
• \( \sqrt[6]{2^3} \cdot \sqrt[6]{2^2} \cdot \sqrt[6]{2} = \sqrt[6]{2^3 \cdot 2^2 \cdot 2} = \sqrt[6]{2^{3+2+1}} = \sqrt[6]{2^6} \)
• \( \sqrt[6]{2^6} = 2 \)

Ответ: 2.