Ввести все целые неположительные n, при которых выражение n^2 + 5n + 22 является квадратом.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. **Задача:** Найти все целые неположительные n, при которых выражение $$n^2 + 5n + 22$$ является полным квадратом. **Решение:** 1. **Обозначим выражение как квадрат числа:** Пусть $$n^2 + 5n + 22 = k^2$$, где k - целое число. 2. **Преобразуем уравнение:** Чтобы было удобнее работать, умножим обе части уравнения на 4: $$4(n^2 + 5n + 22) = 4k^2$$ $$4n^2 + 20n + 88 = 4k^2$$ 3. **Выделим полный квадрат:** Прибавим и вычтем 25, чтобы выделить полный квадрат: $$4n^2 + 20n + 25 + 88 - 25 = 4k^2$$ $$(2n + 5)^2 + 63 = 4k^2$$ 4. **Перенесем и разложим на множители:** Перенесем $$(2n + 5)^2$$ в правую часть: $$63 = 4k^2 - (2n + 5)^2$$ $$63 = (2k - (2n + 5))(2k + (2n + 5))$$ $$63 = (2k - 2n - 5)(2k + 2n + 5)$$ 5. **Разложим 63 на множители:** Разложим число 63 на пары множителей. Учитывая, что $$2k + 2n + 5 > 0$$ (так как n неположительно, а k - целое число), рассмотрим следующие пары множителей: * $$63 = 1 * 63$$ * $$63 = 3 * 21$$ * $$63 = 7 * 9$$ 6. **Рассмотрим каждую пару множителей:** * **Случай 1:** $$1 * 63$$ $$2k - 2n - 5 = 1$$ $$2k + 2n + 5 = 63$$ Сложим уравнения: $$4k = 64$$ $$k = 16$$ Подставим k в первое уравнение: $$2(16) - 2n - 5 = 1$$ $$32 - 2n - 5 = 1$$ $$27 - 2n = 1$$ $$2n = 26$$ $$n = 13$$ Но нам нужны неположительные значения n, поэтому это решение не подходит. * **Случай 2:** $$3 * 21$$ $$2k - 2n - 5 = 3$$ $$2k + 2n + 5 = 21$$ Сложим уравнения: $$4k = 24$$ $$k = 6$$ Подставим k в первое уравнение: $$2(6) - 2n - 5 = 3$$ $$12 - 2n - 5 = 3$$ $$7 - 2n = 3$$ $$2n = 4$$ $$n = 2$$ Это решение тоже не подходит, так как n должно быть неположительным. * **Случай 3:** $$7 * 9$$ $$2k - 2n - 5 = 7$$ $$2k + 2n + 5 = 9$$ Сложим уравнения: $$4k = 16$$ $$k = 4$$ Подставим k в первое уравнение: $$2(4) - 2n - 5 = 7$$ $$8 - 2n - 5 = 7$$ $$3 - 2n = 7$$ $$2n = -4$$ $$n = -2$$ Это решение подходит, так как n неположительное. 7. **Проверим полученное значение n = -2:** $$(-2)^2 + 5(-2) + 22 = 4 - 10 + 22 = 16 = 4^2$$ Действительно, при $$n = -2$$ выражение является полным квадратом. **Ответ:** Единственное целое неположительное значение n, при котором выражение $$n^2 + 5n + 22$$ является квадратом, это $$n = -2$$. **Развернутый ответ для школьника:** Представьте, что у вас есть некоторое число n, которое меньше или равно нулю. Мы хотим узнать, когда выражение $$n^2 + 5n + 22$$ будет квадратом какого-то другого числа. Для этого мы пытаемся преобразовать наше выражение так, чтобы было удобнее найти возможные значения n. Мы используем различные математические трюки, чтобы упростить задачу, и в итоге находим, что только при n = -2 наше выражение становится квадратом (в данном случае, 16). Надеюсь, теперь вам понятно! Если есть еще вопросы, спрашивайте!