Водолазный колокол, содержащий v = 13 молей воздуха при давлении Р₁ = 1,2 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления р₂. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A = αvTlog₂P2, где α = 15 Дж P1 моль. К постоянная, Т = 300 К — температура воздуха. Найдите, какое давление р₂ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 117 000 Дж.

Дано:

• $$v = 13 \text{ моль}$$. Количество вещества воздуха
• $$P_1 = 1,2 \text{ атм}$$. Начальное давление воздуха
• $$A = \alpha v T \log_2 \frac{P_2}{P_1}$$. Формула работы при изотермическом сжатии
• $$\alpha = 15 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$$. Постоянная
• $$T = 300 \text{ К}$$. Температура воздуха
• $$A = 117000 \text{ Дж}$$. Совершенная работа

Найти: $$P_2$$ - конечное давление воздуха.

Решение:

$$ A = \alpha v T \log_2 \frac{P_2}{P_1} $$

$$ \log_2 \frac{P_2}{P_1} = \frac{A}{\alpha v T} $$

$$ \frac{P_2}{P_1} = 2^{\frac{A}{\alpha v T}} $$

$$ P_2 = P_1 \cdot 2^{\frac{A}{\alpha v T}} $$

Подставим значения:

$$ P_2 = 1,2 \cdot 2^{\frac{117000}{15 \cdot 13 \cdot 300}} = 1,2 \cdot 2^{\frac{117000}{58500}} = 1,2 \cdot 2^2 = 1,2 \cdot 4 = 4,8 \text{ атм} $$

Ответ: 4,8