14. Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомо- биль проехал 15 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Пусть автомобиль тормозил n секунд. Тогда расстояния, которые он проезжал за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $$a_1 = 15$$ и разностью $$d = -3$$. Общий путь, пройденный автомобилем до полной остановки, равен сумме n членов этой прогрессии:

$$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$.

Так как в какой-то момент времени автомобиль остановился, то скорость стала равна 0, то есть член прогрессии стал равен 0 или стал отрицательным. Найдем, через сколько секунд это произошло:

$$a_n = a_1 + (n-1)d \le 0$$

$$15 + (n-1)(-3) \le 0$$

$$15 - 3n + 3 \le 0$$

$$18 - 3n \le 0$$

$$3n \ge 18$$

$$n \ge 6$$

Это означает, что через 6 секунд скорость станет равна 0, а через 7 секунд она станет отрицательной, что невозможно. Значит, автомобиль тормозил 6 секунд. Найдем общий путь:

$$S_6 = \frac{6}{2}(2 \cdot 15 + (6-1)(-3)) = 3(30 - 15) = 3 \cdot 15 = 45 \text{ м}$$.

Ответ: 45