16. Точка О является серединой CD стороны квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен 5. Найдите площадь квадрата ABCD.

Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Тогда $$OC = a/2$$, а $$OA = 5$$ (радиус окружности).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOC$$. По теореме Пифагора:

$$AO^2 = OC^2 + AC^2$$

$$5^2 = (a/2)^2 + a^2$$

$$25 = \frac{a^2}{4} + a^2$$

$$25 = \frac{5a^2}{4}$$

$$100 = 5a^2$$

$$a^2 = 20$$

Площадь квадрата $$ABCD$$ равна $$a^2$$.

Ответ: 20