15. Внутри треугольника АВС взята точка М. Докажите, что длина ломаной АМВ меньше длины ломаной АСВ.

Доказательство:

Возьмём произвольную точку M внутри треугольника ABC. Нужно доказать, что AM + MB < AC + CB.

Продлим отрезок AM до пересечения со стороной BC в точке D. Тогда:

AM + MD < AD.

Рассмотрим треугольник MDB. По неравенству треугольника: MD + DB > MB, значит, MB < MD + DB.

Сложив эти два неравенства, получим: AM + MD + MB < AD + DB. Отсюда, AM + MB < AD + DB.

Но AD < AC + CD. Значит, AM + MB < AC + CD + DB, то есть AM + MB < AC + CB.

Ответ: Доказано.