Решение:

Угол ABC - прямой, следовательно, ∠ABC = 90°.

а) Угол ABD в 4 раза меньше угла DBC.

Пусть ∠ABD = x, тогда ∠DBC = 4x.

Сумма углов ABD и DBC равна углу ABC, поэтому:

$$x + 4x = 90$$

$$5x = 90$$

$$x = \frac{90}{5} = 18$$

Следовательно, ∠ABD = 18°, а ∠DBC = 4 * 18° = 72°.

Ответ: ∠ABD = 18°, ∠DBC = 72°

б) Угол DBC больше угла ABD на 32°.

Пусть ∠ABD = y, тогда ∠DBC = y + 32°.

Сумма углов ABD и DBC равна углу ABC, поэтому:

$$y + (y + 32) = 90$$

$$2y + 32 = 90$$

$$2y = 90 - 32 = 58$$

$$y = \frac{58}{2} = 29$$

Следовательно, ∠ABD = 29°, а ∠DBC = 29° + 32° = 61°.

Ответ: ∠ABD = 29°, ∠DBC = 61°

в) Угол ABD в 8 раз больше угла DBC?

Пусть ∠DBC = z, тогда ∠ABD = 8z.

Сумма углов ABD и DBC равна углу ABC, поэтому:

$$8z + z = 90$$

$$9z = 90$$

$$z = \frac{90}{9} = 10$$

Следовательно, ∠DBC = 10°, а ∠ABD = 8 * 10° = 80°.

Ответ: ∠DBC = 10°, ∠ABD = 80°