Вариант III (для более подготовленных учащихся) 1. На рисунке 37 прямые АВ и СD пересекаются в точке Е, CE=BE, ∠C=∠B, AA₁ и DD₁ - биссектрисы треугольников АСЕ и DВЕ. Докажите, что AA₁=DD₁.

Рассмотрим треугольники △ACE и △DBE.

    C           B
   / \         / \
  /   \       /   \
 /     \     /     \
E-------E
 \     /     \     /
  \   /       \   /
   \ /         \ /
    A           D
     A₁           D₁

CE = BE, ∠C = ∠B по условию, ∠CEA = ∠BED как вертикальные. Следовательно, △ACE = △DBE по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам). Из равенства треугольников следует, что AE = DE и AC = BD. Так как AA₁ и DD₁ - биссектрисы, то ∠CAA₁ = ∠EAA₁ = 1/2 ∠CAE и ∠EDD₁ = ∠BDD₁ = 1/2 ∠BDE. Углы ∠CAE и ∠BDE равны как соответственные углы при CE = BE и ∠C = ∠B. Следовательно, ∠CAA₁ = ∠EDD₁. Рассмотрим треугольники △CAA₁ и △EDD₁: AC = BD, ∠C = ∠B, ∠CAA₁ = ∠EDD₁. Следовательно, △CAA₁ = △EDD₁ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть AA₁ = DD₁.

Ответ: AA₁=DD₁