Вариант Б1. 1. Дано: ∠B = ∠C = 90°; ∠ADC = 50°; ∠ADB = 40°. Доказать: ΔABD = ΔDCA.

Дано:

• △ ABC, △ ADC
• \[ \angle B = 90^{\circ} \]
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• \[ \angle ADC = 50^{\circ} \]
• \[ \angle ADB = 40^{\circ} \]

Доказать:

• △ ABD = △ DCA

Решение:

Для доказательства равенства треугольников △ ABD и △ DCA, нам нужно показать, что у них равны три соответствующих элемента (стороны или углы).

1. Рассмотрим △ ADC:
   Мы знаем, что □ADC = 50° и □C = 90°. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
   \[ \angle DAC = 180^{\circ} - \angle ADC - \angle C \]
   \[ \angle DAC = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 90^{\circ} \]
   \[ \angle DAC = 40^{\circ} \]
2. Рассмотрим △ ABD:
   Мы знаем, что □ADB = 40° и □B = 90°. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
   \[ \angle BAD = 180^{\circ} - \angle ADB - \angle B \]
   \[ \angle BAD = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 90^{\circ} \]
   \[ \angle BAD = 50^{\circ} \]
3. Теперь сравним △ ABD и △ DCA:
   
   • □ADB = 40° (дано)
   • □DAC = 40° (найдено в п. 1)

   Следовательно, □ADB = □DAC.

   • □ABD = 90° (дано)
   • □DCA = 90° (дано)

   Следовательно, □ABD = □DCA.

   • Сторона AD является общей для обоих треугольников.
4. Вывод:
   Так как □ADB = □DAC, □ABD = □DCA и сторона AD — общая, то треугольники △ ABD и △ DCA равны по второму признаку равенства треугольников (по двум углам и прилежащей стороне).
   \[ \triangle ABD = \triangle DCA \]

Доказано.