Вариант 1 1. Парабола задана уравнением у= х² - 4х -5. а) Найдите координаты вершины параболы. б) Определите, куда направлены ветви параболы, и объясните почему. в) Найдите координаты точек пересечения параболы с осью абсцисс. г) Постройте параболу 2. Найдите наименьшее значение функции у= х²-6x +4. 3. На рисунке изображены графики функций вида у=ax+bx+c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов. ГРАФИКИ

Вариант 1

1. Парабола задана уравнением $$y = x^2 - 4x - 5$$.

а) Найдите координаты вершины параболы.

Для нахождения координат вершины параболы используем формулу для $$x$$ вершины: $$x_в = -\frac{b}{2a}$$, где $$a$$ и $$b$$ - коэффициенты квадратного уравнения $$y = ax^2 + bx + c$$. В данном случае, $$a = 1$$ и $$b = -4$$.

$$x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$

Теперь найдем $$y$$ координату вершины, подставив $$x_в = 2$$ в уравнение параболы:

$$y_в = (2)^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$$

Таким образом, координаты вершины параболы - $$(2; -9)$$.

б) Определите, куда направлены ветви параболы, и объясните почему.

Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент $$a = 1$$ больше нуля. Если коэффициент при $$x^2$$ положителен, то ветви параболы направлены вверх, а если отрицателен - вниз.

в) Найдите координаты точек пересечения параболы с осью абсцисс.

Точки пересечения параболы с осью абсцисс (осью $$x$$) находятся там, где $$y = 0$$. Решим уравнение $$x^2 - 4x - 5 = 0$$.

Разложим квадратное уравнение на множители или используем формулу корней квадратного уравнения. В данном случае разложим на множители:

$$(x - 5)(x + 1) = 0$$

Значит, корни уравнения: $$x_1 = 5$$ и $$x_2 = -1$$.

Таким образом, координаты точек пересечения с осью абсцисс: $$(5; 0)$$ и $$(-1; 0)$$.

г) Постройте параболу

      
        |       /\
        |      /  \
        |     /    \
        |    /      \
 ------+---/--------\
       |  /          \
       | /            \
 (-1,0)|/              \
       -------------------
       (-1,0)   (5,0)

2. Найдите наименьшее значение функции $$y = x^2 - 6x + 4$$.

Для нахождения наименьшего значения функции $$y = x^2 - 6x + 4$$ найдем вершину параболы. Координата $$x$$ вершины:

$$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Теперь найдем $$y$$ координату вершины, подставив $$x_в = 3$$ в уравнение функции:

$$y_в = (3)^2 - 6 \cdot 3 + 4 = 9 - 18 + 4 = -5$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен (a = 1 > 0), то ветви параболы направлены вверх, и вершина параболы является точкой минимума. Таким образом, наименьшее значение функции равно -5.

3. На рисунке изображены графики функций вида $$y = ax^2 + bx + c$$. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов.

a)

На графике ветви параболы направлены вверх, значит, $$a > 0$$. Вершина параболы находится выше оси x, следовательно, $$c > 0$$.

Значит, подходит вариант 3) $$a > 0, c > 0$$.

б)

На графике ветви параболы направлены вниз, значит, $$a < 0$$. Вершина параболы находится выше оси x, следовательно, $$c > 0$$.

Значит, подходит вариант 1) $$a < 0, c > 0$$.

в)

На графике ветви параболы направлены вверх, значит, $$a > 0$$. Вершина параболы находится ниже оси x, следовательно, $$c < 0$$.

Значит, подходит вариант 2) $$a > 0, c < 0$$.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер

А	Б	В
3	1	2

Ответ:

Координаты вершины параболы: (2; -9)

Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент a > 0.

Координаты точек пересечения с осью абсцисс: (5; 0) и (-1; 0)

Наименьшее значение функции y = x² - 6x + 4 равно -5.

А - 3, Б - 1, В - 2