Решение задач по геометрии

1. Найти углы равнобедренной трапеции, если один угол больше другого на 30°.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Пусть меньший угол равен $$x$$, тогда больший угол равен $$x + 30^{\circ}$$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°. Следовательно:

$$x + x + 30^{\circ} = 180^{\circ}$$ $$2x = 150^{\circ}$$ $$x = 75^{\circ}$$

Значит, меньшие углы трапеции равны 75°, а большие углы равны:

$$75^{\circ} + 30^{\circ} = 105^{\circ}$$

Ответ: Углы равнобедренной трапеции равны 75°, 75°, 105° и 105°.

2. Найти боковые стороны равнобедренной трапеции, основания которой равны 28 см и 14 см, если один из углов 120°.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB = CD, BC = 14 см, AD = 28 см и ∠A = ∠D = 120°. Проведем высоты BH и CF к основанию AD. Тогда AH = FD.

Найдем AH:

$$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{28 - 14}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ см}$$

Рассмотрим треугольник ABH. Угол ∠BAH = 120°, следовательно, угол ∠ABH = 180° - 90° - 60° = 30°.

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Значит:

$$AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 7 = 14 \text{ см}$$

Ответ: Боковые стороны равнобедренной трапеции равны 14 см.

3. Найти меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 28 см и 14 см, если один из углов 45°.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AB перпендикулярна AD и BC, BC = 14 см, AD = 28 см и ∠D = 45°. Поскольку трапеция прямоугольная, то один из углов равен 90°, следовательно, меньшей боковой стороной будет AB.

Проведем высоту CH к основанию AD. Тогда AH = BC = 14 см, следовательно, HD = AD - AH = 28 - 14 = 14 см.

Рассмотрим треугольник CHD. Угол ∠CDH = 45°, угол ∠CHD = 90°, следовательно, угол ∠DCH = 180° - 90° - 45° = 45°. Таким образом, треугольник CHD равнобедренный, и CH = HD = 14 см.

Так как AB = CH, то AB = 14 см.

Ответ: Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 14 см.