Решения задач

1. Прямоугольник MNKP

Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник MOP – равнобедренный, MO = OP. Угол ∠MON = 64° - центральный, следовательно, ∠MOP = ∠MON = 64°.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠OMP = ∠PMO. Сумма углов в треугольнике равна 180°:

$$∠OMP + ∠PMO + ∠MOP = 180°$$ $$2∠OMP + 64° = 180°$$ $$2∠OMP = 180° - 64° = 116°$$ $$∠OMP = \frac{116°}{2} = 58°$$

Ответ: ∠OMP = 58°.

2. Ромб

В ромбе противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Пусть один из углов ромба равен 110°. Тогда противоположный ему угол также равен 110°.

Два других угла ромба равны:

$$180° - 110° = 70°$$

Таким образом, углы ромба равны 110°, 110°, 70° и 70°.

Ответ: Углы ромба равны 110°, 110°, 70° и 70°.

3. Параллелограмм

Периметр параллелограмма равен 60 см. Противоположные стороны параллелограмма равны. Пусть BC = 16 см, тогда AD = BC = 16 см. Обозначим AB = CD = x.

Периметр параллелограмма:

$$P = 2(BC + AB)$$ $$60 = 2(16 + x)$$ $$30 = 16 + x$$ $$x = 30 - 16 = 14$$

Значит, AB = CD = 14 см.

Ответ: AD = 16 см, AB = 14 см, CD = 14 см.

4. Равнобедренная трапеция

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, т.е. AB = CD = 8 см. AD = 18 см, ∠D = 60°.

Опустим высоту CH на основание AD. Тогда AH = (AD - BC) / 2.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. В нём ∠CDH = 60°. Тогда CH = CD * sin(60°) = $$8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$

HD = CD * cos(60°) = $$8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$

Так как трапеция равнобедренная, то AH = HD = 4 см.

$$BC = AD - 2HD = 18 - 2 \cdot 4 = 18 - 8 = 10$$

Периметр трапеции:

$$P = AB + BC + CD + AD = 8 + 10 + 8 + 18 = 44$$

Ответ: Периметр трапеции равен 44 см.