Вариант 1 1. Дано: ∠A = ∠B, CO = 4. DO = 6, АО = 5 (рис. 7.54). Найти: а) ОВ; 5) AC: BD; в) SAOC: SHOD

Решение:

1. Рассмотрим треугольники АОС и BOD. У них ∠A = ∠B (по условию), ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные). Следовательно, треугольники АОС и BOD подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

2. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

\[\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{5}{BO} = \frac{4}{6}\]

Решим пропорцию:

\[BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5\]

ОВ = 7.5

3. Так как треугольники подобны, то:

\[\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO}\]

Тогда:

\[\frac{AC}{BD} = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}\]

AC : BD = 2 : 3

4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия k равен отношению соответствующих сторон, то есть:

\[k = \frac{AO}{BO} = \frac{5}{7.5} = \frac{2}{3}\]

Тогда отношение площадей:

\[\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\]

SAOC : SBOD = 4 : 9