3. Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что МК || АС, BM: AM = 1:4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен 25 см.

Пусть периметр треугольника ABC равен 25 см, BM : AM = 1 : 4, тогда AB = BM + AM, BM = x, AM = 4x, следовательно, AB = x + 4x = 5x.

Рассмотрим подобные треугольники ΔABC и ΔMBK (т.к. MK || AC по условию, ∠В - общий, ∠MKB = ∠ACB как соответственные при параллельных прямых MK и AC и секущей BC).

Составим отношение сторон:

$$\frac{BM}{BA} = \frac{BK}{BC} = \frac{MK}{AC} = \frac{x}{5x} = \frac{1}{5}$$.

$$\frac{P_{MBK}}{P_{ABC}} = \frac{1}{5}$$.

$$P_{MBK} = \frac{P_{ABC}}{5} = \frac{25}{5} = 5 \text{ см}$$.

Ответ: 5 см