14. Ваня последовательно разделил задуманное им натуральное число на 4, на 5 и на 9, получив в каждом из случаев некоторый остаток. Сумма этих остатков равна 15. Какой остаток даёт задуманное Ваней число при делении на 15? Запишите решение и ответ.

Пусть $$x$$ - задуманное число. Тогда можно записать: $$x = 4q_1 + r_1$$ $$x = 5q_2 + r_2$$ $$x = 9q_3 + r_3$$ где $$q_1, q_2, q_3$$ - частные, а $$r_1, r_2, r_3$$ - остатки от деления на 4, 5 и 9 соответственно. Известно, что $$r_1 + r_2 + r_3 = 15$$. Также известно, что остаток от деления на число всегда меньше этого числа. То есть: $$0 \le r_1 < 4$$ $$0 \le r_2 < 5$$ $$0 \le r_3 < 9$$ Так как $$r_1 + r_2 + r_3 = 15$$, то единственный возможный вариант: $$r_1 = 3$$, $$r_2 = 4$$, $$r_3 = 8$$. Значит, число $$x$$ имеет вид: $$x = 4q_1 + 3$$ $$x = 5q_2 + 4$$ $$x = 9q_3 + 8$$ Теперь нужно найти такое число $$x$$, которое удовлетворяет всем этим условиям. Можно перебирать числа, дающие остаток 3 при делении на 4, пока не найдем такое, которое дает остаток 4 при делении на 5 и остаток 8 при делении на 9. Начнем с чисел вида $$4q_1 + 3$$: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 63, 67, 71, 75, 79, 83, 87, 91, 95, 99, 103, 107, 111, 115, 119, 123, 127, 131, 135, 139, 143, 147, 151, 155, 159... Проверим остаток при делении на 5: 3 % 5 = 3 7 % 5 = 2 11 % 5 = 1 15 % 5 = 0 19 % 5 = 4 <- Подходит Проверим 19 на деление на 9: 19 % 9 = 1 Проверим следующие числа, дающие остаток 4 при делении на 5: 39, 59, 79, 99, 119, 139, 159, 179, 199, 219, 239... 39 % 9 = 3 59 % 9 = 5 79 % 9 = 7 99 % 9 = 0 119 % 9 = 2 139 % 9 = 4 159 % 9 = 6 179 % 9 = 8 <- Подходит Итак, x = 179 Теперь найдем остаток от деления 179 на 15: 179 = 15 * 11 + 14 Остаток равен 14. Ответ: 14