110 В ящике 20 левых и 20 правых перчаток. Сколько нужно достать перчаток, не глядя в ящик, чтобы среди вынутых перчаток нашлась хотя бы одна левая и хотя бы одна правая перчатка: а) наверняка (с вероятностью 1); б) с вероятностью не меньше чем 0,95?

Решение:

а) Наверняка (с вероятностью 1):

• В наихудшем случае можно вынуть все перчатки одного типа, прежде чем появится перчатка другого типа.
• Если вынуть 20 левых перчаток, то следующая перчатка обязательно будет правой.
• Поэтому, чтобы наверняка иметь и левую, и правую перчатку, нужно вынуть 20 (левых) + 1 (правая) = 21 перчатку.
• Аналогично, если начать с правых перчаток, нужно вынуть 20 (правых) + 1 (левая) = 21 перчатку.

б) С вероятностью не меньше чем 0,95:

• Всего перчаток: 20 левых + 20 правых = 40.
• Нужно найти такое минимальное число перчаток, при котором вероятность не иметь пары (левая и правая) будет меньше 0,05.
• Рассмотрим случаи, когда вынимаются только левые или только правые перчатки.
• Вероятность вынуть n левых перчаток подряд: (C(20, n) * C(20, 0)) / C(40, n), где C(n, k) - число сочетаний из n по k.
• Вероятность вынуть n правых перчаток подряд: (C(20, 0) * C(20, n)) / C(40, n).
• Так как оба случая симметричны, рассмотрим только один из них и умножим результат на 2.
• P(n) = 2 * C(20, n) / C(40, n).
• Надо найти такое n, чтобы P(n) <= 0.05.
• Далее, попробуем разные значения n:
• n = 10: P(10) = 2 * C(20, 10) / C(40, 10) ≈ 0.018.
• n = 9: P(9) = 2 * C(20, 9) / C(40, 9) ≈ 0.038.
• n = 8: P(8) = 2 * C(20, 8) / C(40, 8) ≈ 0.073.
• Значит, если вынуть 32 перчатки, вероятность не иметь пары будет меньше 0,05.

Ответ:

• а) 21
• б) 32