10. В угол MPN, равный 48°, вписана окружность, имеющая со сторонами угла точки касания M и N. Найдите величину угла MCN. Ответ дайте в градусах.

Пусть O - центр окружности. OM и ON - радиусы, проведенные в точки касания M и N. Угол OMP и угол ONP - прямые углы, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Рассмотрим четырехугольник OMPN. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Тогда: \[\angle MON = 360° - \angle OMP - \angle ONP - \angle MPN\] \[\angle MON = 360° - 90° - 90° - 48° = 132°\] Угол MON - центральный угол, опирающийся на дугу MN. Угол MCN - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу MN. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. \[\angle MCN = \frac{1}{2} \cdot \angle MON\] \[\angle MCN = \frac{1}{2} \cdot 132°\] \[\angle MCN = 66°\] Ответ: Угол MCN равен 66°.