1. В треугольнике $$MNP$$ точка $$K$$ лежит на стороне $$MN$$, причем угол $$NKP$$ острый. Докажите, что $$KP < MP$$.

Для доказательства того, что $$KP < MP$$, рассмотрим треугольник $$KNP$$. Поскольку угол $$NKP$$ острый, это означает, что он меньше 90°. Обозначим угол $$NKP$$ как $$\alpha$$, где $$\alpha < 90°$$. Тогда угол $$PKM$$ является смежным с углом $$NKP$$, и следовательно, $$\angle PKM = 180° - \alpha$$. Так как $$\alpha < 90°$$, то $$180° - \alpha > 90°$$, то есть угол $$PKM$$ тупой. Теперь рассмотрим треугольник $$KPM$$. В этом треугольнике угол $$PKM$$ тупой, следовательно, он является наибольшим углом в этом треугольнике. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Поэтому сторона $$MP$$ лежит против угла $$PKM$$, а сторона $$KP$$ лежит против угла $$PMK$$. Таким образом, $$MP > KP$$, что и требовалось доказать.