20. В треугольнике АВС ВМ – медиана и ВН – высота. Известно, что АС = 76, HC = 19, ∠ACB = 80°. Найдите ∠АМВ. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике АВС, АС = 76, НС = 19, ∠АСВ = 80°, ВМ - медиана, значит АМ = МС = АС/2 = 76/2 = 38.

В прямоугольном треугольнике ВНС, cos C = HC / BC, выразим сторону ВС = НС / cos C = 19 / cos 80°.

В ΔАВС по теореме косинусов АВ² = ВС² + АС² − 2 * ВС * АС * cos C.

АВ² = (19 / cos 80°)² + 76² − 2 * (19 / cos 80°) * 76 * cos 80° = (19 / cos 80°)² + 76² − 2 * 19 * 76 = (19 / cos 80°)² + 5776 − 2888 = (19 / cos 80°)² + 2888.

В ΔАВМ по теореме косинусов АВ² = ВМ² + АМ² − 2 * ВМ * АМ * cos ∠АМВ.

Т.к. ВМ - медиана, то ВМ = АМ = МС = 38, АВ² = 38² + 38² − 2 * 38 * 38 * cos ∠АМВ = 1444 + 1444 − 2888 * cos ∠АМВ = 2888 − 2888 * cos ∠АМВ.

Приравняем выражения для АВ².

(19 / cos 80°)² + 2888 = 2888 − 2888 * cos ∠АМВ.

(19 / cos 80°)² = - 2888 * cos ∠АМВ.

cos ∠АМВ = (19 / cos 80°)² / (- 2888) = 361 / (cos² 80°) / (- 2888) = 361 / (0,03 * (- 2888)) = 361 / (- 86,64) = - 4,167.

Т.к. cos ∠АМВ получился отрицательным, то угла, косинус которого равен - 4,167 не существует.

Ответ: нет данных