3. В треугольнике АВС ВМ – медиана и ВН – высо- та. Известно, что АС = 104, НС = 26 и ДАСВ = 75°. Най- дите угол АМВ. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике АВС ВМ – медиана и ВН – высота. Известно, что АС = 104, НС = 26 и ∠АСВ = 75°.

Рассмотрим треугольник BHC - прямоугольный, т.к. ВН - высота. Найдем угол СВН:

∠СВН = 90° - ∠АСВ = 90° - 75° = 15°.

АН = АС - НС = 104 - 26 = 78.

АМ = МС = АС/2 = 104/2 = 52, т.к. ВМ - медиана.

НМ = АМ - АН = 52 - 78 = -26, следовательно, АН > АМ и точка М лежит между точками Н и С.

НМ = АН - АМ = 78 - 52 = 26.

Рассмотрим треугольник ВНМ - прямоугольный, т.к. ВН - высота, и НМ = НС = 26.

tg∠HBM = HM/BH

tg∠HBM = HC/BH

Следовательно, ∠HBM = ∠HBC = 15°, а значит треугольник ВНМ - равнобедренный и ВН = НМ = 26.

Треугольники ВНМ и ВНС равны по двум катетам (ВН = НМ = 26; НС = НМ = 26), следовательно, ВМ = ВС.

Рассмотрим треугольник ВМС, в котором ВМ = МС = 52, следовательно, треугольник равнобедренный и углы при основании равны, то есть ∠MBC = ∠MCB = 75°.

В треугольнике ВМС сумма углов равна 180°, следовательно,

∠BMC = 180° - (∠MBC + ∠MCB) = 180° - (75° + 75°) = 30°.

Углы АМВ и ВМС смежные, следовательно, в сумме дают 180°.

∠АМВ = 180° - ∠ВМС = 180° - 30° = 150°.

Ответ: 150