В треугольнике АВС величина угла С в два раза больше величины угла А, AC = 14, BC = 18. Найдите AB.

Обозначим угол A как $$x$$, тогда угол C будет $$2x$$. По теореме синусов имеем:

$$ rac{AB}{\sin{C}} = rac{AC}{\sin{B}} = rac{BC}{\sin{A}} $$

Выразим $$AB$$ из теоремы синусов:

$$ AB = \frac{BC \cdot \sin{C}}{\sin{A}} = \frac{BC \cdot \sin{2x}}{\sin{x}} = \frac{18 \cdot 2 \cdot \sin{x} \cdot \cos{x}}{\sin{x}} = 36 \cdot \cos{x} $$

Также, выразим $$AC$$ из теоремы синусов:

$$ AC = \frac{BC \cdot \sin{B}}{\sin{A}} $$

Угол B можно выразить как $$180^{\circ} - (A + C) = 180^{\circ} - (x + 2x) = 180^{\circ} - 3x$$. Тогда

$$ AC = \frac{BC \cdot \sin{(180^{\circ} - 3x)}}{\sin{x}} $$ $$ 14 = \frac{18 \cdot \sin{(180^{\circ} - 3x)}}{\sin{x}} $$ $$ 14 \sin{x} = 18 \sin{(3x)} $$

Используем формулу синуса тройного угла: $$\sin{3x} = 3\sin{x} - 4\sin^3{x}$$

$$ 14 \sin{x} = 18(3\sin{x} - 4\sin^3{x}) $$

Разделим обе части на $$\sin{x}$$ (т.к. $$\sin{x}
eq 0$$):

$$ 14 = 18(3 - 4\sin^2{x}) $$ $$ 14 = 54 - 72\sin^2{x} $$ $$ 72\sin^2{x} = 40 $$ $$ \sin^2{x} = \frac{40}{72} = \frac{5}{9} $$ $$ \sin{x} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} $$

Теперь найдем $$\cos{x}$$:

$$ \cos^2{x} = 1 - \sin^2{x} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} $$ $$ \cos{x} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} $$

Теперь найдем AB:

$$ AB = 36 \cdot \cos{x} = 36 \cdot \frac{2}{3} = 12 \cdot 2 = 24 $$

Ответ: AB = 24