В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ = 27, sin A = 2√2. Найдите длину стороны АС.

Ответ: 6

Разбираемся:

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

\[\sin A = \frac{BC}{AB}\]

Нам дан sin A = \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\) и AB = 27. Нужно найти AC.

Чтобы найти AC, воспользуемся теоремой Пифагора:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

Выразим BC через sin A и AB:

\[BC = AB \cdot \sin A = 27 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 9 \cdot 2\sqrt{2} = 18\sqrt{2}\]

Теперь найдем AC:

\[AC^2 = AB^2 - BC^2 = 27^2 - (18\sqrt{2})^2 = 729 - 324 \cdot 2 = 729 - 648 = 81\] \[AC = \sqrt{81} = 9\]

Таким образом, длина стороны AC равна 9.

Ответ: 9