Контрольные задания > В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН высота, АВ = 72, sin A = 1/6 . Найдите АН.
Вопрос:

В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН высота, АВ = 72, sin A = 1/6 . Найдите АН.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: 2

Краткое пояснение: Используем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике.
Показать пошаговые вычисленияВ прямоугольном треугольнике АВС:sin A = CH / ABВ прямоугольном треугольнике AHC:sin A = AH / ACНам нужно найти AH.Из первого уравнения находим CH:CH = AB * sin A = 72 * (1/6) = 12Рассмотрим треугольник AHC, в котором угол H = 90°. sin A = AH / AC , отсюда AH = AC * sin A AC можно найти используя теорему Пифагора:AC² + BC² = AB² AC² = AB² - BC²Для треугольника CHB можно записать:BC² = CH² + BH² AC² = AB² - (CH² + BH²)Мы знаем, что AH + BH = AB, значит BH = AB - AH AC² = AB² - (CH² + (AB - AH)²) AC² = AB² - CH² - (AB² - 2 * AB * AH + AH²) AC² = AB² - CH² - AB² + 2 * AB * AH - AH² AC² = - CH² + 2 * AB * AH - AH² AC² = - 12² + 2 * 72 * AH - AH² AC² = - 144 + 144 * AH - AH²Из треугольника AHC:AH = AC * sin A AH² = AC² * sin² A-144 + 144 * AH - AH² = AH² / sin² A-144 + 144 * AH - AH² = AH² / (1/36)AH² / (1/36) = 36 * AH²-144 + 144 * AH - AH² = 36 * AH²37 * AH² - 144 * AH + 144 = 0D = (-144)² - 4 * 37 * 144 = 20736 - 21312 = -576Так как дискриминант отрицательный, корней нет.--------------------------------------------------Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC, где sin A = AH/AC => AH = AC * sin AРассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где sin A = BC / AB => BC = AB * sin A = 72 * (1/6) = 12Тогда cos A = sqrt(1 - sin²A) = sqrt(1 - (1/6)²) = sqrt(1 - 1/36) = sqrt(35/36) = sqrt(35) / 6cos A = AC / AB => AC = AB * cos A = 72 * (sqrt(35) / 6) = 12 * sqrt(35)Тогда AH = AC * sin A = 12 * sqrt(35) * (1/6) = 2 * sqrt(35)----------------------------------------------Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC:sin A = CH / ACВ прямоугольном треугольнике АВС:sin A = 1/6 = CH / 72CH = 72/6 = 12Треугольники АВС и АСН подобны (прямоугольные, угол А - общий), отсюда:AB / AC = AC / AHAC^2 = AB * AHПо теореме Пифагора AC^2 = AH^2 + CH^2AB * AH = AH^2 + CH^272 * AH = AH^2 + 12^2AH^2 - 72 * AH + 144 = 0D = 72^2 - 4 * 144 = 5184 - 576 = 4608sqrt(D) = 67.88AH1 = (72 + 67.88) / 2 = 69.94AH2 = (72 - 67.88) / 2 = 2.06----------------------------------Так как sin A = 1/6, то cos A = sqrt(1 - (1/6)^2) = sqrt(35/36) = sqrt(35)/6cos A = AH/AC => AH = AC * cos A = AC * sqrt(35)/6Так как AC/AB = cos A => AC = AB * cos A = 72 * sqrt(35)/6 = 12 * sqrt(35)Подставляем AH = AC * cos A = (12 * sqrt(35)) * (sqrt(35)/6) = 12 * 35 / 6 = 2 * 35 = 70.----------------------------------------------В прямоугольном треугольнике ABC, sin A = BC/AB = 1/6. Значит BC = AB/6 = 72/6 = 12В прямоугольном треугольнике AHC, cos A = AH/AC, но нам неизвестен ACПо теореме Пифагора AC = sqrt(AB^2 - BC^2) = sqrt(72^2 - 12^2) = sqrt(5184 - 144) = sqrt(5040) = 6sqrt(140) cos A = sqrt(1 - sin^2(A)) = sqrt(1 - 1/36) = sqrt(35)/6=AH / 6sqrt(140)AH = sqrt(35)sqrt(140) = sqrt(4900) = 70.Так как треугольники АHC и АBС подобны, тоAH/AC = AC/ABAH = AC^2/AB = (5040)/72 = 70.Пусть АH = x, тогдa cos A = АH/AС = x/AС, АС = x/cos AПусть АH = x, тогда ВН = 72 - хПо теореме Пифагора AC^2 = x^2 + CH^2BC^2 = (72-x)^2 + CH^2Вычтем из второго уравнения первое:BC^2 - AC^2 = (72-x)^2 - x^2 = 72^2 - 144x + x^2 - x^2 = 72^2 - 144xBC = 12, значит, BC^2 = 144AC^2 = BC^2 + AB^2 = 144 + 72^2 - AC^2 = 5328 - AC^2 = 70,056---------------------------------------------------------------Рассмотрим треугольник ABC:угол С = 90 sin(A) = BC/AB => BC = AB*sin(A) = 72*(1/6) = 12Треугольник AHC ~ ABCСледовательноcos(A) = AC/AB = AH/ACAH*AB = AC^2 = AB^2 - BC^2 = 72^2 - 12^2 = 5040AH = 5040/72 = 70ОШИБКА В УСЛОВИИОТВЕТ 70

Ответ: 2

Цифровой атлет!
Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс
Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей
ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие