В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH — высота, АВ = 36, sin A = 5/6. Найдите длину отрезка АН.

Ответ: 11

1. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) синус угла \(A\) равен отношению противолежащего катета (\(BC\)) к гипотенузе (\(AB\)): \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{6}\]
2. Находим длину стороны \(BC\): \[BC = AB \cdot \sin A = 36 \cdot \frac{5}{6} = 30\]
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ACH\). В этом треугольнике косинус угла \(A\) равен отношению прилежащего катета (\(AH\)) к гипотенузе (\(AC\)): \[\cos A = \frac{AH}{AC}\]
4. Найдем \(\cos A\) зная \(\sin A\): \[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\] \[\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}\] \[\cos A = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}\]
5. Найдем сторону \(AC\) по теореме Пифагора для треугольника \(ABC\): \[AC^2 = AB^2 - BC^2 = 36^2 - 30^2 = 1296 - 900 = 396\] \[AC = \sqrt{396} = 6\sqrt{11}\]
6. Теперь найдем \(AH\): \[AH = AC \cdot \cos A = 6\sqrt{11} \cdot \frac{\sqrt{11}}{6} = 11\]

Ответ: 11