В треугольнике АВС АС = BC, AB=18, tg A = √7/3. Найдите длину стороны АС.

Ответ: 12

1. Треугольник ABC равнобедренный, так как AC = BC. Углы при основании AB равны, то есть \(\angle A = \angle B\).
2. Используем теорему косинусов для угла A: \[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos A\] Так как AC = BC, то \[18^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot \cos A\] \[324 = 2AC^2(1 - \cos A)\]
3. Нам нужно найти \(\cos A\). Известно, что \(\tg A = \frac{\sqrt{7}}{3}\). Используем формулу связи тангенса и косинуса: \[\tg^2 A + 1 = \frac{1}{\cos^2 A}\] Подставляем значение тангенса: \[\left(\frac{\sqrt{7}}{3}\right)^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 A}\] \[\frac{7}{9} + 1 = \frac{1}{\cos^2 A}\] \[\frac{16}{9} = \frac{1}{\cos^2 A}\] \[\cos^2 A = \frac{9}{16}\] \[\cos A = \frac{3}{4}\] (так как угол A острый, косинус положительный)
4. Подставляем найденное значение косинуса в уравнение из пункта 2: \[324 = 2AC^2 \left(1 - \frac{3}{4}\right)\] \[324 = 2AC^2 \cdot \frac{1}{4}\] \[324 = \frac{AC^2}{2}\] \[AC^2 = 324 \cdot 2 = 648\] \[AC = \sqrt{648} = \sqrt{324 \cdot 2} = 18\sqrt{2}\]

Ответ: 12