1742. В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH – высота, угол А равен 30°, АВ = 80. Найдите ВН.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, ВС = 1/2 * АВ = 1/2 * 80 = 40.

По теореме Пифагора найдем АС:

AC² + BC² = AB²

AC² = AB² - BC²

AC² = 80² - 40² = 6400 - 1600 = 4800

AC = √4800 = √(1600 * 3) = 40√3

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Угол А = 30°. Cos угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, следовательно, cos A = AH / AC, тогда

AH = AC * cos 30° = 40√3 * √3/2 = 40 * 3 / 2 = 120 / 2 = 60

Тогда ВН = АВ - АН = 80 - 60 = 20.

Ответ: 20