11. В треугольнике АВС угол C равен 90°,$$\sin \angle A = \frac{4}{5}$$'АС = 9. Найдите АВ.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, дано, что sin A = 4/5 и AC = 9. Требуется найти длину стороны AB.

Мы знаем, что синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$

Известно значение AC = 9. Катет АС прилежащий к углу А. Нам нужно найти гипотенузу AB.

Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\). Найдем \(\cos A\):

$$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$ $$\cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$$

Косинус угла A - это отношение прилежащего катета AC к гипотенузе AB:

$$\cos A = \frac{AC}{AB}$$ $$\frac{3}{5} = \frac{9}{AB}$$

Выразим AB:

$$ AB = \frac{9 \cdot 5}{3} = \frac{45}{3} = 15 $$

Ответ: 15